Problème de Monnaie: Résolvez Cette Question d’Entretien en Python!

Introduction

Le problème de la monnaie est un classique des entretiens techniques en programmation. Il s’agit de déterminer comment rendre une somme donnée en utilisant le moins possible de pièces, et ce problème est non seulement simple à comprendre, mais aussi fondamental dans l’étude des algorithmes et des structures de données. Dans cet article, nous explorerons différentes méthodes pour résoudre ce problème, avec un accent particulier sur la programmation en Python. Nous examinerons des approches allant de la méthode naïve à la programmation dynamique, en passant par la recherche gloutonne. Chacune de ces techniques a des forces et des faiblesses, que nous discuterons en détail.

Comprendre le Problème de Monnaie

Le problème consiste à rendre un montant donné avec le moins de pièces possible. Par exemple, si vous devez rendre 27 centimes et que vous disposez de pièces de 1, 5, 10 et 25 centimes, l’objectif est de trouver la combinaison de pièces qui minimise leur nombre.

Dans cet exemple concret, la solution optimale serait d’utiliser une pièce de 25 centimes, une pièce de 1 centime, et une autre de 1 centime, soit trois pièces au total.

Approches Brutes

Approche Naïve

La méthode de force brute consiste à évaluer toutes les combinaisons possibles pour trouver la solution optimale. Bien que conceptuellement simple, cette approche n’est pas efficace pour de grandes quantités de monnaie ou pour un nombre élevé de différentes pièces, étant donné qu’elle implique un calcul exponentiel.

Voici un exemple de code Python illustrant cette approche :

def monnaie_force_brute(montant, pièces):
    # Fonction récursive pour trouver le nombre minimal de pièces
    if montant == 0:
        return 0
    min_pieces = float('inf')
    for piece in pièces:
        if montant >= piece:
            num_pieces = 1 + monnaie_force_brute(montant - piece, pièces)
            min_pieces = min(min_pieces, num_pieces)
    return min_pieces

# Exemple d'utilisation
pièces = [1, 5, 10, 25]
montant = 27
print(monnaie_force_brute(montant, pièces))

Inconvénients:

• Inefficace pour de grands montants ou des ensembles étendus de pièces.
• Complexité exponentielle en termes de temps.

Amélioration avec la Programmation Dynamique

Introduction à la Programmation Dynamique

La programmation dynamique est une technique qui résout les problèmes par sous-problèmes. En mémorisant les résultats intermédiaires, on peut éviter les calculs redondants, ce qui rend cette méthode particulièrement efficace pour notre problème.

Solution en Programmation Dynamique

L’algorithme de programmation dynamique pour le problème de monnaie consiste à construire un tableau où chaque indice représente le montant à atteindre et la valeur à cet indice indique le nombre minimum de pièces nécessaires.

Voici un exemple de mise en œuvre en Python :

def monnaie_programmation_dynamique(montant, pièces):
    # Créer un tableau de taille montant + 1 pour stocker les résultats sous-problèmes
    dp = [float('inf')] * (montant + 1)
    dp[0] = 0  # Base : 0 pièce pour le montant 0

    for i in range(1, montant + 1):
        for piece in pièces:
            if i >= piece:
                dp[i] = min(dp[i], dp[i - piece] + 1)

    return dp[montant] if dp[montant] != float('inf') else -1

# Exemple d'utilisation
pièces = [1, 5, 10, 25]
montant = 27
print(monnaie_programmation_dynamique(montant, pièces))

Analyse:

• Complexité temporelle: O(n * m) où n est le montant et m le nombre de pièces.
• Complexité spatiale: O(n)

Utilisation de la Recherche Gloutonne

Quand l’Approche Gloutonne Fait Sens

L’approche gloutonne consiste à toujours choisir la pièce de la plus grande valeur possible, jusqu’à ce que le montant soit atteint. Cette méthode fonctionne bien lorsque les pièces sont en proportion simple comme dans le système monétaire américain, mais elle échoue si cette condition n’est pas remplie.

Mise en œuvre d’une Solution Gloutonne

Voici une implémentation en Python :

def monnaie_gloutonne(montant, pièces):
    pièces.sort(reverse=True)
    compte = 0
    for piece in pièces:
        while montant >= piece:
            montant -= piece
            compte += 1
    return compte if montant == 0 else -1

# Exemple d'utilisation
pièces = [1, 5, 10, 25]
montant = 27
print(monnaie_gloutonne(montant, pièces))

Comparaison avec la Programmation Dynamique

• Efficacité: Gloutonne est plus rapide mais pas toujours optimale.
• Exactitude: Fonctionne uniquement pour certains jeux de pièces.

Comparaison des Approches

Problématiques Avancées

Optimisation pour les Machines de Distributeur Automatique

Lorsque vous concevez des algorithmes pour des distributeurs automatiques, des considérations comme les stocks de pièces disponibles deviennent importantes. Les algorithmes doivent être adaptés pour gérer des configurations particulières de pièces afin d’éviter l’épuisement des stocks.

Résolution de Problèmes Connexes

Le problème de la monnaie est lié à d’autres problèmes classiques comme le problème du sac à dos. Une fois que vous comprenez bien le principe derrière le problème de la monnaie, vous pouvez appliquer des techniques similaires à ces problèmes apparentés.

Conclusion

Nous avons exploré plusieurs méthodes pour résoudre le problème de la monnaie, depuis l’approche naïve jusqu’à l’optimisation en employant la programmation dynamique et la méthode gloutonne. Lors des entretiens techniques, comprendre les limites et les applications de chaque approche est essentiel. Nous vous encourageons à pratiquer ces méthodes et à vous familiariser avec leurs applications à travers divers exercices.

Références et Lectures Complémentaires

• « Introduction to Algorithms » par Cormen, Leiserson, Rivest, et Stein
• « The Algorithm Design Manual » par Steven Skiena
• Cours en ligne sur Coursera et edX concernant les algorithmes et la théorie de la complexité.
• Tutoriels Python sur la programmation dynamique et les algorithmes gloutons.